Question

一定两动求最小值

Answer 1

两动一定求最小值问题，回答如下：

在利用“一定两动”求角度问题时，首先要会准确画出图形，其次还要灵活运用三角形内角和、等腰三角形等边对等角、四边形内角和等知识点。

例题1：如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，求∠MAN的度数。

这是典型的“一定两动”问题，需要过定点做动点所在直线的对称点。根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上。

作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″），根据三角形内角和即可得出答案。

由于M和N都是动点，而点B是定点，所以无法直接确定何时BM+BN的和最小。如果能把BM与BN变成三点共线那种类型就可以了。但是怎么转化都不好转化。

题目的关键条件是AM=CN，因此可以考虑利用这个条件进行辅助线的构造。线段相等，我们能想到什么呢？一般我们都会想到构造全等。那怎么构造呢？首先，AM在△ABM中，而CN在△BCN中，但是它们不全等。所以我们可以选定一个三角形，以另外一边为基础构造全等。