Question

二阶微分方程求解

Answer 1

方法：

1.二阶常系数齐次线性微分方程解法 

一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0 

特征方程r2+pr+q=0的两根为r1,r2  微分方程y”+py’+qy=0的通解 

两个不相等的实根r1,r2                     y=C1er1x+C2er2x 

两个相等的实根r1=r2                       y=(C1+C2x)er1x

一对共轭复根r1=α+iβ,r2=α-iβ         y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)

2.1.二阶常系数非齐次线性微分方程解法 

一般形式: y”+py’+qy=f(x) 

先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x) 

则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解 

求y”+py’+qy=f(x)特解的方法: 

① f(x)=Pm(x)eλx型 

令y*=xkQm(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Qm(x)的m+1个系数 

2.2.②f(x)=eλx［Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型 

令y*=xkeλx［Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx］［m=max﹛l,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Qm(x)和Rm(x)的m+1个系数

---

例题：

1. y"=f（x）型方程 （方程的右端不显含 y,y

y'=fv"dx=ff(x)dx+C，

y=fydx=fff(x)dx+Cx+C，即y=  f(x)dxkx+Cx+C例1解方程 y"=xe*.

解 y'= xe dx=e x-e +C，

y= (xe -e*+C)=xe -e*-e +Cx+C.

2.y”=f（x，y'）型方程 （方程右端不显含 y)

令y'=p(x)，y”=12，代入原方程，得dp

dx=f（x，p)，关于p的一阶微分方程，

设其通解为 p=9(x，C1)， 又p=dy

dx=（x，C)，可分离变量的一阶微分 方程，

积分得通解 y= (x,C)dx+C，

Answer 2

二阶微分方程的通解公式有以下：

第一种：由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解，故可得方程的通解是：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。

第二种：通解是一个解集……包含了所有符合这个方程的解；n阶微分方程就带有n个常数，与是否线性无关。

通解只有一个，但是表达形式可能不同，y=C1y1(x)+C2y2(x)是通解的话y=C1y1(x)+C2y2(x)+y1也是通解，但y=C1y1就是特解。

第三种：先求对应的齐次方程2y''+y'-y=0通解。