Question

如何定义可去奇点、极点、本性奇点等概念？

Answer 1

可去奇点，极点，本性奇点之间的区别是含义不同。

1、若f(z)在a附近有界，称a为f的可去奇点。因为根据Riemann的奇点定理可以知道此时f(z)在a处的极限存在，因此可增加定义a点的函数值为极限值，利用Morera可证f全纯。

2、若f(z)在a处的极限为∞，则称之为极点。因为此时a是1/f的可去奇点！

3、若极限不存在，称之为本性奇点。

其它类型奇点

受黎曼定理启示，给定一个不可去奇点，我们可能问是否存在一个自然数m使得 limz→a(z - a)f(z) = 0。

如果存在，a称为f的一个极点，这样最小的m称为a的阶数。所以可去奇点恰好是零阶极点。一个全纯函数在极点附近一致发散到无穷远点。