Question

零空间是什么意思

Answer 1

零空间是在线性映射（即矩阵）的背景下出现的，指：像为零的原像空间，即{x| Ax=0}。

在数学中，一个算子 A 的零空间是方程 Av = 0 的所有解 v 的集合。它也叫做 A 的核，核空间。如果算子是在向量空间上的线性算子，零空间就是线性子空间。因此零空间是向量空间。

性质：

如果A是矩阵，它的零空间就是所有向量的空间的线性子空间。这个线性子空间的维度叫做A的零化度(nullity)。这可以计算为在矩阵A的行梯阵形式中不包含支点的纵列数。秩-零化度定理声称任何矩阵的秩加上它的零化度等于这个矩阵的纵列数。

对应于零奇异值的A的右奇异向量形成了A的零空间的基。

A的零空间可以用来找到和表达方程Ax=b的所有解(完全解)。如果 x1是这个方程的一个解，叫做特定解，那么方程的完全解等于它的特定解加上来自零空间的任何向量。特定解依b而变化，而零空间的向量不是。

要证明这一点，我们考虑每个方向。在一个方向上，如果Ay=b，且Av=0，则明显的A(y+v) =Ay+Av=b+0=b。所以y+v也是Ax=b的解。在其他方向上，如果我们有对Ax=b的另一个解z，则A(z−y) =Az−Ay= b−b = 0。

所以向量u=z−y在A的零空间中而z=y+u。所以任何解都可以表示为一个零空间中的向量加上特定解y。