Question

已知a、b为非零向量，求证|a+b|=|a-b|是a⊥b的充要条件

Answer 1

充分性：|a+b|=√(a+b)^2
|a-b|=√(a-b)^2
因为|a+b|=|a-b|
所以（a+b)^2=(a-b)^2
即4ab=0
ab=0
ab=|a||b|cosθ
所以cosθ=0，即θ=90°
必要性：a⊥b
则ab=0
然后还是那个式子推出ab=0

Answer 2

1 充分性：
|a+b|=|a-b|

两边平方:(a+b)^2=(a-b)^2

4ab=0

ab=0

所以a⊥b

2必要性：

a⊥b

所以ab=0

(a+b)^2=(a-b)^2

因此|a+b|=|a-b|

(第二个也可以用几何意义)

|a+b|=|a-b|是四边形的两条对角线

又a⊥b 所以四边形是矩形

所以|a+b|=|a-b|