Question

重心的定义是什么？

Answer 1

重心是三角形中线的交饥没点的交点。

数学上的重心是指三角形的三条中线的交点，其证明定理有燕尾定理或塞瓦定理，应用定理有梅涅劳斯定理、塞瓦定理。

燕尾定理或塞瓦定理的证明：

已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。求证：F为AB中点。

证明1：燕尾定理：

S（△AOB）=S（△AOC），

又S（△AOB）=S（△BOC），

∴S（△AOC）=S（△BOC），

再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。

证明2：塞瓦定理：

如图1，在△ABC中，AD、BE、CF是中线，

则AF=FB，BD=DC，CE=EA。

∵（AF/FB）*（BD/DC）*（CE/EA）=1

∴AD、BE、CF交于一点

即三角形的三条中线交于一点。

重心性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。

5、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

6、三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则3PG²=(AP²+BP²+CP²)-1/3(AB²+BC²+CA²)。

7、在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP+AC/AQ=3

8、从三角形ABC的三烂简纳个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的6个切点为Pi，则Pi均在以重心G为圆心，r=1/18(AB²+BC²+CA²)为半径的圆周上。

9、G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA²+PB²+PC²=GA²+GB²+GC²+3PG²。 

重心确定方法：

对于均质物体，如在几何形体上具有对称面、对称轴或对称中心，则该物体的重心或形心必在此对称面、对称轴或对称中心上。下面介绍几种常用的确定重心位置的方法。

1、组合法：工程中有些形体虽然比较复杂，但往往是由一些简单形体的组合，这些形体的重心通常是已知的或易求的。

2、负面积法：如果在规则形体上切去一部分，例如钻一个孔等，则在求这类形体的重心时，可以认为原形体是完整的，只是把切去的部分视为负值（负体积或负面积咐悄）。

3、实验法（平衡法）：如物体的形状不是由基本形体组成，过于复杂或质量分布不均匀，其重心常用实验方法来确定。主要包括悬挂法和称重法。

重心的应用：

1、 数学应用：分为求线段长、求面积。

求线段长：

例1：如图所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC于点E，若BC=6cm，则GE的长度。

解：Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6 ∴AB=BC=12

D是斜边AB的中点，∴CD=1/2AB=6

G是Rt△ABC的重心，∴CG=2/3CD=4

由CD=AD，∠A=30°，∠GCE=30°

Rt△GCE中，∠GCE=30°，CG=4，∴GE=1/2CG=2

求面积：

例2：在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，如图，若△BOD的面积等于5，求△ABC的面积。

解：∵O是△ABC的重心，∴AO∶OD=2∶1

∴S△AOB∶S△BOD=2∶1，即S△AOB=2 S△BOD=10

∴S△ABD= S△AOB+ S△BOD=10+5=15

又∵AD是△ABC的中线， S△ABC=2 S△ABD=30

2、工程应用：

重心在工程中具有重要的意义。例如，水坝的重心位置关系到坝体在水压力作用下能否维持平衡；飞机的重心位置设计不当就不能安全稳定地飞行；构件截面的重心（形心）位置将影响构件在载荷作用下的内力分布规律，与构件受力后能否安全工作有着紧密的联系。总之，重心与物体的平衡、物体的运动以及构件的内力分布是密切相关的。