重心的定义是什么?
重心是三角形中线的交点的交点。
数学上的重心是指三角形的三条中线的交点,其证明定理有燕尾定理或塞瓦定理,应用定理有梅涅劳斯定理、塞瓦定理。
燕尾定理或塞瓦定理的证明:
已知:△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F。求证:F为AB中点。
证明1:燕尾定理:
S(△AOB)=S(△AOC),
又S(△AOB)=S(△BOC),
∴S(△AOC)=S(△BOC),
再应用燕尾定理即得AF=BF,命题得证。
证明2:塞瓦定理:
如图1,在△ABC中,AD、BE、CF是中线,
则AF=FB,BD=DC,CE=EA。
∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1
∴AD、BE、CF交于一点
即三角形的三条中线交于一点。
重心性质:
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均。
5、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
6、三角形ABC的重心为G,点P为其内部任意一点,则3PG²=(AP²+BP²+CP²)-1/3(AB²+BC²+CA²)。
7、在三角形ABC中,过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q,则 AB/AP+AC/AQ=3
8、从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线,所得的6个切点为Pi,则Pi均在以重心G为圆心,r=1/18(AB²+BC²+CA²)为半径的圆周上。
9、G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点,则PA²+PB²+PC²=GA²+GB²+GC²+3PG²。
重心确定方法:
对于均质物体,如在几何形体上具有对称面、对称轴或对称中心,则该物体的重心或形心必在此对称面、对称轴或对称中心上。下面介绍几种常用的确定重心位置的方法。
1、组合法:工程中有些形体虽然比较复杂,但往往是由一些简单形体的组合,这些形体的重心通常是已知的或易求的。
2、负面积法:如果在规则形体上切去一部分,例如钻一个孔等,则在求这类形体的重心时,可以认为原形体是完整的,只是把切去的部分视为负值(负体积或负面积)。
3、实验法(平衡法):如物体的形状不是由基本形体组成,过于复杂或质量分布不均匀,其重心常用实验方法来确定。主要包括悬挂法和称重法。
重心的应用:
1、 数学应用:分为求线段长、求面积。
求线段长:
例1:如图所示,在Rt△ABC中,∠A=30°,点D是斜边AB的中点,当G是Rt△ABC的重心,GE⊥AC于点E,若BC=6cm,则GE的长度。
解:Rt△ABC中,∠A=30°,BC=6 ∴AB=BC=12
D是斜边AB的中点,∴CD=1/2AB=6
G是Rt△ABC的重心,∴CG=2/3CD=4
由CD=AD,∠A=30°,∠GCE=30°
Rt△GCE中,∠GCE=30°,CG=4,∴GE=1/2CG=2
求面积:
例2:在△ABC中,中线AD、BE相交于点O,如图,若△BOD的面积等于5,求△ABC的面积。
解:∵O是△ABC的重心,∴AO∶OD=2∶1
∴S△AOB∶S△BOD=2∶1,即S△AOB=2 S△BOD=10
∴S△ABD= S△AOB+ S△BOD=10+5=15
又∵AD是△ABC的中线, S△ABC=2 S△ABD=30
2、工程应用:
重心在工程中具有重要的意义。例如,水坝的重心位置关系到坝体在水压力作用下能否维持平衡;飞机的重心位置设计不当就不能安全稳定地飞行;构件截面的重心(形心)位置将影响构件在载荷作用下的内力分布规律,与构件受力后能否安全工作有着紧密的联系。总之,重心与物体的平衡、物体的运动以及构件的内力分布是密切相关的。