如何计算方差和均值?

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设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)] 

其实就是均值是u,方差是t^2。

于是:∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t(*) 

积分区域是从负无穷到正无穷,下面出现的积分也都是这个区域。

(1)求均值 

对(*)式两边对u求导:

∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0 

约去常数,再两边同乘以1/(√2π)t得:

∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0 

把(u-x)拆开,再移项:

∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx 

也就是 

∫x*f(x)dx=u*1=u 

这样就正好凑出了均值的定义式,证明了均值就是u。

(2)方差 

过程和求均值是差不多的,我就稍微略写一点了。

对(*)式两边对t求导:

∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π 

移项:

∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2 

也就是 

∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2 

正好凑出了方差的定义式,从而结论得证。

扩展资料:

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布,记为N(μ,σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置,其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

在统计描述中,方差用来计算每一个变量(观察值)与总体均数之间的差异。为避免出现离均差总和为零,离均差平方和受样本含量的影响,统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异程度。

由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称,对于任一正态总体,其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。

为了便于描述和应用,常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。

对于连续型随机变量X,若其定义域为(a,b),概率密度函数为f(x),连续型随机变量X方差计算公式:D(X)=(x-μ)^2 f(x) dx 

方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。(标准差、方差越大,离散程度越大)

若X的取值比较集中,则方差D(X)较小,若X的取值比较分散,则方差D(X)较大。

因此,D(X)是刻画X取值分散程度的一个量,它是衡量取值分散程度的一个尺度。

参考资料来源:百度百科--方差

参考资料来源:百度百科--正态分布

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