被7整除余2,被5整除余2,被13整除余10的数？

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#合辑# 面试问优缺点怎么回答最加分？

jym02my

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2022-11-27 · 繁杂信息太多，你要学会辨别

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被5整除余2,被7整除余2,被13整除余10的数387。

这是一道“韩信点兵”很有趣的猜数游戏，宋朝周密叫它“鬼谷算”或“隔壁算”；杨辉叫它“剪管术”；而“韩信点兵”是比较通行的名称。

〖韩信点兵法的口诀〗

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，

七子团圆整半月，除百零五便得知。

〖韩信点兵法口诀的释义〗

前三句意思较为明确，假如说一个非负整数N，在除以 3.5.7.以后所得余数分别是a,b.c。那么 70a+21b+15c 一定是符合题意要求的数。

第四句“除”字作“减”字解。因为符合要求的最小数 N 必满足0≦N＜105，但是70a+21b+15c 却有可能大于 105，甚至大于 210，所以还不一定是符合要求的最小数。那么当他大于或等于 105 时，还必须减去 105，可能还要再减去 105，直到比 105 小为止，才可以得到符合题意要求的最小数。

〖计算〗

例如，一把棋子先3粒3粒数，余1粒、5粒一数余2粒、7个一数余2粒，那么原来棋子是多少呢？

那么到底怎样来计算？它可以简单地由下式来表达：

70×a+21×b+15×c－105

其中a、b、c分别是3个、5个、7个一数的余数。如果得出数字还比05大，就再减去105，一直到比105小为止。

因此可以很容易地知道，答案

70×1+21×2+15×2－105＝37（粒）

那么“韩信点兵”里为什么要3个一数，5个一数，7个一数呢？

先看一下70、21、15、105这4个数和3、5、7之间的关系：

（1）70÷2×5×7，70＝3×23＋1，所以70是5和7的一个公倍数，它被3除后余数是1。

（2）同理，21是3和7的一个公倍数，它被5除后余数是1。

（3）15是3和5的一个公倍数，它被7除后余数是1。

（4）105＝3×5×7，是3、5、7的最小公倍数。

根据上面的这些关系，“70a+21b+15c－105”确实是所求的得数。理由如下，因为

70a+21b+15c－105

=(3×23+1)×1+(3×7×2)+(3×5×2)-(3x5×7)

＝3x23×1+1×1+3×7×2+3×5×2-3x5×7

=3×(23×1+7×2+5×2-5×7)+1，

所以,70a+21b+15c-105被3除的余数是1.根据同样的道理,这个数被5除后的余数是2,被7除后的余数是2。

那么“韩信点兵”里为什么要用 3.5、7 这三个数呢？我们知道,3、5、7 中的任意两个数的最大公约数都是1,也就是说是两两互素的。于是就可以找到这样一个数,是 3、5、7 其中两

个数的公倍数,而被另一个数除后余数是 1,类似 70、21、15。这也是对于“韩信点兵”中的三个数的要求。

那么不是两两互素的数，是不是就一定找不到类似70。21、15 的数呢?例如 4.6.7 这三个数,4 与6 不是互素的,它们的最大公约数是 2。而 6 与 7 的任何一个公倍数都是偶数,被偶数 4 除后的余数也一定是偶数,而不可能是 1,所以是找不到与 70、21、15 相当的三个数的。因此在“韩信点兵”里就不能用。

〖韩信点兵法口诀的局限性〗

只适宜于如题所示的一个极为特殊的问题，要推广到同类问题必须另行制作口诀（即公式）。

〖韩信点兵法口诀的原理〗

①能被 5，7 除尽数是 35k.其中k=2，即 70 除 3 正好余 1，70a 除3 正好余a。

②能被 3，7 除尽数是 21k,其中k=1，即 21 除 5 正好余1，21b 除5 正好余b。

③能被 3，5 除尽数是 15k,其中k=1，即 15 除7正好余1，15c 除7正好余c。