线性代数问题：设A是n阶实对称矩阵,n为奇数.若A^n=I,证明A=I
1个回答
展开全部
实对称矩阵A正交相似于对角阵,对角元都是A的特征值
即存在正交阵P,使得P'AP=D=diag(d1,d2,...,dn),其中的di是A的特征值（由于A对称,特征值都是实数）
A^n=I,以及利用P'P=I
得出D^n=(P'AP)^n=P'*A^n*P=P'*P=I
推出(di)^n=1,对任意i成立
因为di是实数,且n是奇数,得出di=1,对任意i成立
从而P'AP=I
从而A=P*P'=I
证毕
即存在正交阵P,使得P'AP=D=diag(d1,d2,...,dn),其中的di是A的特征值（由于A对称,特征值都是实数）
A^n=I,以及利用P'P=I
得出D^n=(P'AP)^n=P'*A^n*P=P'*P=I
推出(di)^n=1,对任意i成立
因为di是实数,且n是奇数,得出di=1,对任意i成立
从而P'AP=I
从而A=P*P'=I
证毕
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
