4求不定积分(tanx)/(1+cosx)dx
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∫ (tanx)/(1+cosx) dx
=∫ (sinx)/[cosx+(cosx)^2 ]dx
=-∫ dcosx /[cosx+(cosx)^2 ]
=∫ [ 1/(1+cosx) - 1/cosx ] dcosx
=ln| (1+cosx)/cosx | + C
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∫[tanx/(1+cosx)]dx = ∫{tanx/[cos(x/2)]^2}d(x/2)
= ∫[2tan(x/2)/[1-tan^2(x/2)]d[tan(x/2)]
= ∫{1/[1-tan(x/2)]-1/[1+tan(x/2)]}d[tan(x/2)]
= - ln|1-tan(x/2)| + ln|1+tan(x/2)| + C = ln|[1+tan(x/2)]/[1-tan(x/2)]| + C
= ∫[2tan(x/2)/[1-tan^2(x/2)]d[tan(x/2)]
= ∫{1/[1-tan(x/2)]-1/[1+tan(x/2)]}d[tan(x/2)]
= - ln|1-tan(x/2)| + ln|1+tan(x/2)| + C = ln|[1+tan(x/2)]/[1-tan(x/2)]| + C
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