Question

收敛数列一定有界吗？

Answer 1

有界不一定收敛是指此数列或函数存在上下限，但没有一种趋势是趋向于某一个确定的数，就像正弦函数一样，虽然有正负1给它作为上下限，但随着x的变化，函数值没有趋向于一个确定的1一样。

收敛一定有界指的是此数列或函数存在一个趋势，这个趋势的极限是一个确定的值，就像反比例函数一样。

收敛数列一定有界（反证,假设无界,肯定不收敛） 

有界数列不一定收敛（反例,数列{(-1)^n}是有界的,但它却是发散的）

本质的不同数列的收敛是指当n趋于无穷时数列项趋于一个数，而数列的前面的有限项是一个确定的数,显然有界，当n趋于无穷时数列收敛，，说明后面的任意项都是一个有限的数。

而函数收不收敛是指当x趋于x0时，函数的敛散情况，当x趋于x0收敛，函数在x0处肯定是有界的，但并不代表x趋于x1就一定收敛，是否有界也不得而知。

扩展资料

有界数列不一定是收敛数列，例如，摆动数列。

 

是有界的，因对一切n，有

但它是发散的；而数列

 

也是有界的，因对一切n，

 但数列是收敛的，有

无界数列一定是发散的，因为如果它是收敛的，根据收敛数列是有界的，得出数列有界的结论。