Question

如何用数学归纳法证明1+2+3+4+.+ N

Answer 1

由于n个（n +1）= [n个（n +1）（n +2）个 - 第（n-1）n个（n +1）] / 3
所以2 * 1 * 2 3 +。 。 。 + n个（n +1）

= [1 * 2 * 3-0 2 * 3 * 4-1 * 2 * 3 + .... + N（N +1）（N +2） - （N-1），N（N +1）] / 3

消除后[项目]

= [N（N +1）（N +2）] / 3

所以，1 ^ 2 +2 ^ 2 +3 ^ 2 + ...... + N ^ 2

= [N（N +1）（N +2）] / 3 - [N（N +1）] / 2

= N（N +1）[（N + 2）/ 3-1/2]

或数学归纳法..或

2 ^ 3-1 ^ 3 = 2 * 2 ^ 2 +1 ^ 2-2

3 ^ 3-2 ^ 3 = 2 * 3 ^ 2 +2 ^ 2-3 4 ^ 3-3 ^ 3 = 2 * 4 ^ 2 +3 ^ 2-4

......

^ 3 - （N-1）^ 3 = 2 * N ^ 2 +（N-1）^ 2-N

整方程中加入

^ 3-1 ^ 3 = 2 *（2 ^ 2 3 ^ 2 + ... + N ^ 2）+ [1 ^ 2 +2 ^ 2 + ... +（N-1）^ 2] - （2 3 4 + ... + n）的

^ 3-1 = 2 *（1 ^ 2 2 ^ 2 ^ 3 2 + ... + N ^ 2）-2 + [1 ^ 2 +2 ^ 2 + ... +（N-1）^ 2 + N ^ 2]-N ^ 2 - （2 +3 +4 + ... + N）

^ 3-1 = 3 *（1 ^ 2 +2 ^ 2 +3 ^ 2 + ... + N ^ 2）-2-N ^ 2 - （1 +2 +3 + ... + N）+1

^ 3-1 = 3（1 ^ 2 +2 ^ 2 + ... + N ^ 2）-1-N ^ 2-N（N +1）/ 2

3（1 ^ 2 +2 ^ 2 + ... + N ^ 2）= N ^ 3 + N ^ 2 + N（N +1）/ 2 =（N / 2）（2N ^ 2 +2 N + N +1） =（N / 2）（N +1）（2N +1）

（1 ^ 2 +2 ^ 2 + ... + N ^ 2）= N（N +1） [（2N +1）/ 6