Question

2、求下列微分方程满足初始条件的特解： (3) y ,+y/x =sinx y｜x=π =1

Answer 1

解:微分方程为y'+y/x=sinx，化为xy'+y=xsinx，(xy)'=xsinx，xy=-xcosx+sinx+c(c为任意常数)

∵y(π)=1 ∴有π=π+0+c，得:c=0

∴微分方程的特解为y=sinx-xcosx

请参考

Answer 2

经过判定可知，这是一个一阶线性非齐次方程，有常数变易法和公式法可以求解，下面我用公式法计算一下：其中￥表示积分号
解：y=e^(￥（-1/x）dx)[￥sinx (e)^(￥1/xdx)dx+C]
=e^(-lnx)[￥sinx (e)^(lnx)dx+C]
=(1/x)[￥sinx. xdx+C] (分部积分法)
=(1/x)[￥xd(-cosx)+C]
=(1/x)[[-xcosx]-￥(-cosx)dx+C]
=(1/x)[[-xcosx]+sinx+C]

又因为y｜x=π =1 带入上面的通解中，
得C=0
所以其特解为y=(1/x)[[-xcosx]+sinx+0] =(1/x)[sinx-xcosx]]