Question

高等数学微分中值定理的应用证明方程x^5+x-1=0只有一个根

Answer 1

1、有根：
设f(x)＝x^5＋x－1,则f(x)在[0,1]上连续,f(0)＜0,f(1)＞0,所以由零点定理,f(x)在(0,1)内有零点ξ,即方程x^5＋x－1＝0有根ξ
2、根唯一
设方程还有一个根η,η≠ξ,不妨假设η＞ξ,则在[ξ,η]上使用罗尔定理,存在ζ∈(ξ,η),使f'(ζ)＝0.而f'(x)＝5x^4+1＞0.矛盾
所以方程只有一根