Question

如何理解不定积分的意义？

Answer 1

不定积分的几何意义是被积函数与坐标轴围成的面积，x轴之上部分为正，x轴之下部分为负，根据cosx在[0,2π]区间的图像可知，正负面积相等，因此其代数和等于0。

若F是f的一个原函数，则称y=F(x)的图像为f的一条积分曲线。f的不定积分在几何上表示f的某一积分曲线沿着纵轴方向任意平移，所得到的一切积分曲线所组成的曲线族。

Answer 2

1）以全体原函数表示的不定积分，其整体与被积函数构成一一对应的互逆关系。

2）以变上限积分函数表示的不定积分，按照微积分第一基本定理，与被积函数直接形成一一对应的互逆关系。

3）不定积分存在的意义是，为牛顿—莱布尼茨公式计算定积分提供了基础。

Answer 3

具体回答如下：

∫ (cosx)^3 dx

=∫ (cosx)^2*cosx dx

=∫ (cosx)^2dsinx

=∫（1-(sinx)^2） dsinx

=∫1 dsinx-∫(sinx)^2 dsinx

=sinx-1/3*(sinx)^3+C

不定积分的意义：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。