Question

已知实数(x,y)满足x方+y方-2x+4y-20=0则x方+y方的最大值和最小值

Answer 1

x²+y²-2x+4y-20=0
(x²-2x+1)+(y²+4y+4)=20+1+4
(x-1)²+(y+2)²=5²

令x=1+5cosa，y=-2+5sina，则有
x²+y²
=(1+5cosa)²+(-2+5sina)²
=1+10cosa+25cos²a+4-20sina+25sin²a
=1+4+25(cos²a+sin²a)-(20sina-10cosa)
=30-10(根号5)[sin(a+T)]，tanT=-10/20=-1/2

因为-1=<sin(a+T)<=1
所以-10(根号5)=<-10(根号5)sin(a+T)<=10根号5
30-10(根号5)=<30-10(根号5)sin(a+T)<=30+10根号5

x²+y²的最大值是30+10根号5；最小值是30-10根号5.

Answer 2

x^2-2x+1+y^2+4y+4=25

(x-1)^2+(y+2)^2=5^2

x,y在一个以（1，-2）为圆点，半径为5的圆上

m^2=x^2+y^2就是圆上的点到（0，0）距离的平方，
点（0，0）在圆内，根据圆的性质圆内一点将过圆心的半径分成最长和最短的两段

圆心到（0，0）的距离=根号（1^2+（-2）^2)=根号5

所以x^2+y^2的最大值为（5+根号5）^2 =30+10√5
x^2+Y^2的最小值为（5-根号5）^2=30-10√5

Answer 3

以代表"平方.解：可转化为在可行域内求最值的问题。x"+y"-2x+4y-20=0,x"-2x+1+y"+4y+4=25,(x-1)"+(y+2)"=25,(x,y)可行域为以(1,-2)为圆心，以5为半径的圆周。令A=x"+y"，则表示圆周上的点到原点的距离。连接原点与圆心，交圆于M,N,则取M,N时A有最值.易求得直线为y=-2x联立圆的方程得与圆的交点为M(1-根5,2-2根5),(1+根5,2+2根5)，代入得A两最值分别是5+根5,5-根5