Question

大学积分变换 计算积分

Answer 1

解：上面的题涵盖了下面题的内容，会上面的题，下面的题也就会做了。
积分式分为2部分之和：一部分是:te^(-t),另一部分是：tsin2te^(-t)。
因为：[te^(-t)]'=e(-t)+te^(-t)*(-1)=e(-t)-te^(-t); 所以：te^(-t)=e^(-t)-[te^(-t)]'....(1)；
而[tcos2te^(-t)]'=cos2te^(-t)-2tsin2te^(-t)-tcos2te^(-t);
tsin2te^(-t)=(1/2){cos2te^(-t)-tcos2te^(-t)-[tcos2te^(-t)]'}.....(2);
[tsin2te^(-t)]'=sin2te^(-t)+2tcos2te^(-t)-tsin2te^(-t);
tsin2te^(-t)=-[tsin2te^(-t)]'+sin2te^(-t)+2tcos2te^(-t).....(3);
(2)*4+(3),得：5tsin2te^(-t)=2cos2te^(-t)-2[tcos2te^(-t)]'-[tsin2te^(-t)]'+sin2te^(-t)...(4)*;
[cos2te^(-t)]'=-2sin2te^(-t)-cos2te^(-t); cos2te^(-t)+2sin2te^(-t)=-[cos2te^(-t)]'....(5);
[sin2te^(-t)]'=2cos2te^(-t)-sin2te^(-t); sin2te^(-t)-2cos2te^(-t)=-[sin2te^(-t)]'.....(6);
(5)*2+(6),得：5sin2te^(-t)=-2[cos2te^(-t)]'-[sin2te^(-t)]'.....(7);
(5)-2*(6),得：5cos2te^(-t)=2[sin2te^(-t)]'-[cos2te^(-t)]'.....(8)；
2cos2te^(-t)+sin2te^(-t)=(2/5){2[sin2te^(-t)]'-[cos2te^(-t)]'}+(1/5){2[cos2te^(-t)]'-[sin2te^(-t)]'}
=(1/5){3[cos2te^(-t)]'-3[sin2te^(-t)]'}.......(9);
∫(0,+∞)[te^(-t)dt=-te^(-t)](0,+∞)+∫(0,+∞)e^(-t)dt=lim(t→+∞）[-t/e^t-e^(-t)]+1=1....(10);
∫(0,+∞)[tsin2te^(-t)]dt
=(1/5){lim(t→+∞)-2[tcos2te^(-t)-tsin2te^(-t)]+∫(0,+∞)[2cos2te^(-t)+sin2te^(-t)]dt}
=(1/25){lim(t→+∞)3[cos2te^(-t)]-3[sin2te^(-t)]+3+0}=3/25.......(11);
原式=∫(0,+∞)[t(1+sin2t)e^(-t)]dt=1+3/25=1又3/25。