Question

怎样证明垂径定理的

Answer 1

椭圆的“垂径定理：已知不过原点O的直线与椭圆x2a2+y2b2=1交于A、B两点，M为弦AB的中点，则直线AB与直线OM的斜率之积：

已知圆中有一条非直径的弦，那么这条弦垂直于过其中点的直径．对于椭圆也有类似的性质。圆可以看作椭圆的一个特例，即当短半轴b无限趋近于长半轴a时，椭圆近似可看作圆。

注一 当a=b=r时，椭圆的垂径定理描述的内容即为圆的垂径定理；

注二    这里并不要求a>b，也就是说此结论对焦点在x轴和焦点在y轴上的椭圆均适用；

注三    双曲线x2a2−y2b2=1的垂径定理中的斜率之积：

圆的垂径定理证明过程如下：

设在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂足为E，求证：CE=DE，弧AC=弧AD，弧BC=弧BD。

证明：

连接OC、OD。

则OC=OD（⊙O的半径）。

∵ AB⊥CD，

∴CE=DE，∠COE=∠DOE（等腰三角形三线合一）。

∴弧BC=弧BD（等角对等弧），∠AOE=∠AOD（等角的补角相等）。

∴弧AC=弧AD。