Question

sin(a+π/3)=-3/5sin(2a+π/6)

Answer 1

我们可以利用三角函数的和角公式和倍角公式来解这个方程。

首先，根据正弦函数的和角公式，有：

sin(a + π/3) = sin(a)cos(π/3) + cos(a)sin(π/3) = (1/2)sin(a) + (sqrt(3)/2)cos(a)

其次，根据正弦函数的倍角公式，有：

sin(2a + π/6) = 2sin(a + π/12)cos(a - π/12)

将以上两个式子代入原方程，得到：

(1/2)sin(a) + (sqrt(3)/2)cos(a) = -(3/5) * 2sin(a + π/12)cos(a - π/12)

化简可得：

5sin(a) + 5sqrt(3)cos(a) = -6sin(a + π/12)cos(a - π/12)

利用正弦函数的差角公式，有：

cos(a - π/12) = cos(a)cos(π/12) + sin(a)sin(π/12) = (sqrt(6)+sqrt(2))/4*cos(a) + (sqrt(6)-sqrt(2))/4*sin(a)

sin(a + π/12) = sin(a)cos(π/12) + cos(a)sin(π/12) = (sqrt(6)-sqrt(2))/4*cos(a) + (sqrt(6)+sqrt(2))/4*sin(a)

将上式代入原方程，得到：

5sin(a) + 5sqrt(3)cos(a) = -6[(sqrt(6)-sqrt(2))/4*cos(a) + (sqrt(6)+sqrt(2))/4*sin(a)][(sqrt(6)+sqrt(2))/4*cos(a) - (sqrt(6)-sqrt(2))/4*sin(a)]

化简可得：

25sin(a) + 15sqrt(3)cos(a) = -9sqrt(2)sin(a) - 9sqrt(6)cos(a)

移项并整理可得：

(9sqrt(6) + 25)sin(a) = (-15sqrt(3) - 9sqrt(2))cos(a)

将两边同时除以 cos(a)，并根据三角函数的平方和公式，可得：

tan(a) = -3/5

因此，a 的值可以取反正切函数的值：

a = atan(-3/5)

最后，将 a 的值代入原方程中的任意一个式子中，即可求出 sin(a+π/3) 的值，进而求解出这个方程的解。