Question

高一年级数学《集合》知识点总结

Answer 1

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　　【一】

　　一．知识归纳：

　　1．集合的有关概念。

　　1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素

　　注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

　　②集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互异性（若a?A，b?A，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。

　　③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件

　　2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法

　　3）集合的分类：有限集，无限集，空集。

　　4）常用数集：N，Z，Q，R，N*

　　2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

　　1）子集：若对x∈A都有x∈B，则AB（或AB）；

　　2）真子集：AB且存在x0∈B但x0A；记为AB（或，且）

　　3）交集：A∩B={xx∈A且x∈B}

　　4）并集：A∪B={xx∈A或x∈B}

　　5）补集：CUA={xxA但x∈U}

　　注意：①?A，若A≠?，则?A；

　　②若，，则；

　　③若且，则A=B（等集）

　　3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1）与、?的区别；（2）与的区别；（3）与的区别。

　　4．有关子集的几个等价关系

　　①A∩B=AAB；②A∪B=BAB；③ABCuACuB；

　　④A∩CuB=空集CuAB；⑤CuA∪B=IAB。

　　5．交、并集运算的性质

　　①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A；

　　③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB；

　　6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。

　　二．例题讲解：

　　【例1】已知集合M={xx=m+,m∈Z},N={xx=,n∈Z},P={xx=,p∈Z}，则M,N,P满足关系

　　A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM

　　分析一：从判断元素的共性与区别入手。

　　解答一：对于集合M：{xx=,m∈Z}；对于集合N：{xx=,n∈Z}

　　对于集合P：{xx=,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以MN=P，故选B。

　　分析二：简单列举集合中的元素。

　　解答二：M={…，，…}，N={…，,,，…}，P={…，,，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。

　　=∈N，∈N，∴MN，又=M，∴MN，

　　=P，∴NP又∈N，∴PN，故P=N，所以选B。

　　点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。

　　变式：设集合，，则（B）

　　A．M=NB．MNC．NMD．

　　解：

　　当时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B

　　【例2】定义集合A*B={xx∈A且xB}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A*B的子集个数为

　　A）1B）2C）3D）4

　　分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。

　　解答：∵A*B={xx∈A且xB}，∴A*B={1,7}，有两个元素，故A*B的子集共有22个。选D。

　　变式1：已知非空集合M{1,2,3,4,5}，且若a∈M，则6?a∈M，那么集合M的个数为

　　A）5个B）6个C）7个D）8个

　　变式2：已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A.

　　解：由已知，集合中必须含有元素a,b.

　　集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

　　评析本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有个.

　　【例3】已知集合A={xx2+px+q=0},B={xx2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

　　解答：∵A∩B={1}∴1∈B∴12?4×1+r=0,r=3.

　　∴B={xx2?4x+r=0}={1,3},∵A∪B={?2,1,3},?2B,∴?2∈A

　　∵A∩B={1}∴1∈A∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，

　　∴∴

　　变式：已知集合A={xx2+bx+c=0},B={xx2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求实数b,c,m的值.

　　解：∵A∩B={2}∴1∈B∴22+m?2+6=0,m=-5

　　∴B={xx2-5x+6=0}={2,3}∵A∪B=B∴

　　又∵A∩B={2}∴A={2}∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

　　∴b=-4,c=4,m=-5

　　【例4】已知集合A={x(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足：A∪B={xx>-2}，且A∩B={x1

　　分析：先化简集合A，然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。

　　解答：A={x-21}。由A∩B={x1-2}可知[-1,1]B，而(-∞,-2)∩B=ф。

　　

　　综合以上各式有B={x-1≤x≤5}

　　变式1：若A={xx3+2x2-8x>0}，B={xx2+ax+b≤0},已知A∪B={xx>-4}，A∩B=Φ,求a,b。（答案：a=-2，b=0）

　　点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。

　　变式2：设M={xx2-2x-3=0},N={xax-1=0}，若M∩N=N，求所有满足条件的a的集合。

　　解答：M={-1,3},∵M∩N=N,∴NM

　　①当时，ax-1=0无解，∴a=0②

　　综①②得：所求集合为{-1，0，}

　　【例5】已知集合，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若P∩Q≠Φ，求实数a的取值范围。

　　分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在有解，再利用参数分离求解。

　　解答：（1）若，在内有有解

　　令当时，

　　所以a>-4,所以a的取值范围是

　　变式：若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。

　　解答：

　　点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。

　　三.随堂演练

　　选择题

　　1．下列八个关系式①{0}=②=0③{}④{}⑤{0}

　　⑥0⑦{0}⑧{}其中正确的个数

　　（A）4（B）5（C）6（D）7

　　2．集合{1，2，3}的真子集共有

　　（A）5个（B）6个（C）7个（D）8个

　　3．集合A={x}B={}C={}又则有

　　（A）（a+b）A(B)(a+b)B(C)(a+b)C(D)(a+b)A、B、C任一个

　　4．设A、B是全集U的两个子集，且AB，则下列式子成立的是

　　（A）CUACUB（B）CUACUB=U

　　（C）ACUB=（D）CUAB=

　　5．已知集合A={}，B={}则A=

　　（A）R（B）{}

　　（C）{}（D）{}

　　6．下列语句：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为

　　{1，2，3}或{3，2，1}；（3）方程（x-1）2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；（4）集合{}是有限集，正确的是

　　（A）只有（1）和（4）（B）只有（2）和（3）

　　（C）只有（2）（D）以上语句都不对

　　7．设S、T是两个非空集合，且ST，TS，令X=S那么S∪X=

　　（A）X（B）T（C）Φ（D）S

　　8设一元二次方程ax2+bx+c=0(a