Question

利用傅里叶变换的对称性,求下列信号的傅里叶变换f(t)=(sin2(t-1))/((t-1)) f？

Answer 1

根据傅里叶变换的对称性，如果一个信号是偶函数，则它的傅里叶变换是一个实数函数，并且具有对称性；如果一个信号是奇函数，则它的傅里叶变换是一个虚数函数，并且也具有对称性。因此，我们可以通过利用傅里叶变换的对称性来简化计算。
首先，将f(t)分解为两个信号的和，一个是偶函数，一个是奇函数：
f(t) = [sin(2(t-1))] / (t-1) = [sin(2(t-1)) - 2(t-1)*cos(2(t-1)) / (2(t-1))] + [2(t-1)*cos(2(t-1)) / (2(t-1))]
其中，第一个信号是奇函数，第二个信号是偶函数。
然后，我们可以使用傅里叶变换的定义来计算每个信号的傅里叶变换：
F1(ω) = ∫[-∞,+∞] [sin(2(t-1)) - 2(t-1)*cos(2(t-1))] * e^(-jωt) dt
F2(ω) = ∫[-∞,+∞] [2(t-1)*cos(2(t-1))] * e^(-jωt) dt
对于第一个信号，我们可以利用傅里叶变换的对称性来简化计算，因为它是一个奇函数。由于该信号的实部是0，虚部是一个偶函数，所以它的傅里叶变换是一个虚数函数，并且具有对称性，即：
F1(ω) = -j * [∫[-∞,+∞] [sin(2(t-1))] * sin(ωt) dt]
通过使用三角恒等式 sin(α-β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β)，我们可以将上式化简为：
F1(ω) = -j/2 * [∫[-∞,+∞] [cos(ωt-2t+2) - cos(ωt+2t-2)] dt]
对于第二个信号，我们可以利用傅里叶变换的对称性来简化计算，因为它是一个偶函数。由于该信号是一个实数函数，所以它的傅里叶变换也是一个实数函数，并且具有对称性，即：
F2(ω) = ∫[-∞,+∞] [2(t-1)*cos(2(t-1))] * cos(ωt) dt
通过使用三角恒等式 cos(α-β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)，我们可以将上式化简为：
F2(ω) = π * δ(ω) + j/2 * [∫[-∞,+∞] [sin(ωt-2t+2) + sin(ωt+2t-2)]
dt
其中，δ(ω)表示单位冲击函数，其傅里叶变换是常数1。因此，我们得到了f(t)的傅里叶变换：
F(ω) = F1(ω) + F2(ω) = -j/2 * [∫[-∞,+∞] [cos(ωt-2t+2) - cos(ωt+2t-2)] dt] + π * δ(ω) + j/2 * [∫[-∞,+∞] [sin(ωt-2t+2) + sin(ωt+2t-2)] dt]
通过进一步化简，我们可以得到：
F(ω) = π * δ(ω) - j/ω * [sin(ω-2) + sin(ω+2)]
因此，f(t)的傅里叶变换是一个虚数函数，具有对称性。