Question

关于x的实系数二次方程......

已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α，β，证明：
(1)如果│α│＜2，│β│＜2，那么2│a│＜4+b且│b│＜4；
（2）如果2│a│＜4+b且│b│＜4，那么│α│＜2，│β│＜2

Answer 1

1.|α|<2，|β|<2
设f(x)=x^2+ax+b
说明这个开口向上的抛物线与x轴有两个交点，即判别式大于0，即a^2-4b>0;对称轴在(-2,2)中，即-2<-a/2<2,即-4<a<4,即可得到a^2<16把判别式变形可以得到b<a^2/4<16/4=4;两个实根绝对值小于2，由于已经确定对称轴在(-2,2)中，可以得到
f(-2)=4-2a+b>0,f(2)=4+2a+b>0,与这两个式子等价的式子是
4+b>2a,4+b>-2a，即4+b>2|a|>0，即同时可得b>-4与上边结论结合知4+b>2|a|且|b|<4
证毕

2.
2|a|<4+b和f(-2)>0,f(2)>0是等价的，现在就看看结合|b|<4能否推出a^2-4b>0和-2<-a/2<2
由于|b|<4,得到-4-b<0<4+b，故由2|a|<4+b可得
-4-b<2a<4+b,对此不等式两边同时乘以-1/2,由|b|<4可得-2<-(4+b)/2<-a/2<(4+b)/2<2即得对称轴在(-2,2)中
，由于对称轴在(-2,2)中，f(-2)>0,f(2)>0，根一定在(-2,2)中
请注意，这个时候方程不一定存在根，比如a=0,b=3，方程无根，但如果有根则一定符合题设结论。