Question

如图,在△ABD中,∠BAC=2∠DAC,∠ACD=60º,BC=5,CD=1,求AD的长

怎么求

Answer 1

设∠DAC=u,AD=x，则∠BAC=2u,∠BAD=3u,
∠ACD=60º,
所以∠B=60°-2u,
在△ACD中CD=1,由正弦定理，sinu=sin60°/x=√3/（2x）,
cosu=√(4x^2-3)/(2x),
在△ABD中BD=6,6/sin3u=x/sin(60°-2u),②
sin3u=3sinu-4(sinu)^3=3√3/(2x)-3√3/(2x^3)=3√3(x^2-1)/(2x^3),
sin(60°-2u）=(√3/2)cos2u-(1/2)sin2u
=(√3/2）[1-3/(2x^2)]-√(12x^2-9)/(4x^2)
=[2√3x^2-3√3-√(12x^2-9)]/(4x^2)，
②化为3[2√3x^2-3√3-√(12x^2-9)]=3√3(x^2-1)，
又化为2x^2-3-√(4x^2-3)=x^2-1,
x^2-2=√(4x^2-3),③
平方得x^4-4x^2+4=4x^2-3,
整理得x^4-8x^2+7=0,由③，x^2≥2,
解得x^2=7,
AD=x=√7，