Question

如果222...22(2021个2)框里是3的倍数,框里最小填几?最大填几?

Answer 1

首先，我们可以将数字 222...22（共 2021 个 2）表示为：

222...22 = 2 × (10^2020 + 10^2019 + ... + 10^1 + 1)

因为 10^k ≡ 1 (mod 3) 当且仅当 k 是 3 的倍数，所以 10^k + 1 ≡ 0 (mod 3) 当且仅当 k 是奇数，也就是说，对于任意的奇数 k，有：

10^k + 1 ≡ 0 (mod 3)

因此，当 k 是奇数时，有：

2 × (10^k + 10^(k-2) + ... + 10^3 + 1) ≡ 2 × (1 + 0 + 1 + 0 + ... + 1) ≡ 0 (mod 3)

因此，对于 222...22（共 2021 个 2），当且仅当框里填的数字是 1 或 4 时，它是 3 的倍数。因为最小的 3 的倍数是 3，所以框里最小填 1。而最大的 3 的倍数小于 1000，因此框里最大填 4。

Answer 2

要使框里2021成为3的倍数，就必须使
（2021+□）能被3整除，
当□=l或者7时，能被3整除，
（2021+1）÷3=674，
（2021+7）÷3=676。
所以，框里最小填1，最大填7。

Answer 3

因为3的倍数的特点是所以位数和是3的倍数，已知已经有了2021个2，和是2021×2=4042，4+4+2=10。
所以最小就是填2。