Question

当x趋近于正无穷时， x*(1- lnx/ x)^ x的极限为正无穷吗？

Answer 1

我们可以使用洛必达法则来求解这个极限。首先，我们将原式变形为：
x * (1 - lnx/x)^x = x * e^(x * ln(1 - lnx/x))
然后，我们令 y = x * ln(1 - lnx/x)，则原式变为：
x * e^y
我们需要求 y 当 x 趋近于正无穷时的极限。由于 y 的形式比较复杂，我们可以使用洛必达法则来求解。
对 y 求导，得：
dy/dx = ln(1 - lnx/x) + x * (1 / (1 - lnx/x)) * (-lnx / x^2 + 1 / x)
化简后，得：
dy/dx = ln(1 - lnx/x) + (1 / (1 - lnx/x)) * (1 - lnx / x)
当 x 趋近于正无穷时，lnx/x 趋近于 0，所以 dy/dx 趋近于 ln(1) + 1 = 1。
因此，当 x 趋近于正无穷时，y 趋近于 x。
所以，当 x 趋近于正无穷时，原式 x * e^y 趋近于 x * e^x。
因此，当 x 趋近于正无穷时，x * (1 - lnx/x)^x 的极限为 正无穷。