Question

3.利用格林公式,计算下列第二类曲线积分:-|||-(1) (2x+y+1)dx+(3x-y+2)？

Answer 1

首先，我们需要确定曲线积分的路径。由于题目没有给出具体的路径，我们可以选择一条简单的路径，如从点 $(0,0)$ 到点 $(2,0)$ 的直线段。
接下来，我们需要将曲线积分转化为二重积分。根据格林公式，对于一个向量场 $\vec{F}(x,y) = (P(x,y), Q(x,y))$，有
$$\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA$$
其中，$C$ 是曲线路径，$D$ 是曲线路径所包围的区域，$d\vec{r}$ 是路径的微元向量，$dA$ 是区域 $D$ 的微元面积。
对于本题中的向量场 $\vec{F}(x,y) = (2x+y+1, 3x-y+2)$，我们有
$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (-1) - (3) = -4$$
因此，曲线积分的值为
$$\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_D (-4) dA$$
接下来，我们需要确定区域 $D$ 的边界。由于曲线路径是从点 $(0,0)$ 到点 $(2,0)$ 的直线段，因此区域 $D$ 是 $x$ 轴上的线段，其两个端点分别为 $(0,0)$ 和 $(2,0)$。因此，我们可以将区域 $D$ 表示为
$$D = \{(x,y) \mid 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 0\}$$
因此，我们可以将曲线积分转化为二重积分，得到
$$\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_D (-4) dA = (-4) \iint_D dA = (-4) \cdot 2 \cdot 0 = 0$$
因此，曲线积分的值为 $0$。