线性方程组有解的判别方法?
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线性方程组是否有解,可以通过判断其增广矩阵的秩和系数矩阵的秩来确定。线性方程组 \(Ax = b\) 的系数矩阵为 \(A\),增广矩阵为 \([A|b]\)。设 \(r(A)\) 表示矩阵 \(A\) 的秩,\(r([A|b])\) 表示增广矩阵 \([A|b]\) 的秩。
线性方程组 \(Ax = b\) 的解的情况可以通过以下方式判别:
1. 如果 \(r(A) = r([A|b])\),则线性方程组至少有一个解。
- 如果 \(r(A) = n\),其中 \(n\) 是未知数的个数,那么线性方程组有唯一解。
- 如果 \(r(A) < n\),那么线性方程组有无穷多个解。
2. 如果 \(r(A) < r([A|b])\),则线性方程组无解。
这个判别方法基于线性代数的基本定理,通常称为克莱姆法则(Cramer's Rule)或秩定理。
线性方程组 \(Ax = b\) 的解的情况可以通过以下方式判别:
1. 如果 \(r(A) = r([A|b])\),则线性方程组至少有一个解。
- 如果 \(r(A) = n\),其中 \(n\) 是未知数的个数,那么线性方程组有唯一解。
- 如果 \(r(A) < n\),那么线性方程组有无穷多个解。
2. 如果 \(r(A) < r([A|b])\),则线性方程组无解。
这个判别方法基于线性代数的基本定理,通常称为克莱姆法则(Cramer's Rule)或秩定理。
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证明:
对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后,不全为零的行数r(即矩阵的秩)小于等于m(矩阵的行数),若m<n,则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元,这个n-r个自由变元可取任意取值,从而原方程组有非零解(无穷多个解)。
应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:
(1)当方程组的系数行列式不等于零时,则方程组有解,且具有唯一的解;
(2)如果方程组无解或者有两个不同的解,那么方程组的系数行列式必定等于零
(3)克莱姆法则不仅仅适用于实数域,它在任何域上面都可以成立。
扩展资料
齐次线性方程组解的性质:
1、若x是齐次线性方程组AX=0的一个解,则kx也是它的解,其中k是任意常数。
2、若x1,x2是齐次线性方程组AX=0的两个解,则x1+x2也是它的解。
3、对齐次线性方程组AX=0,若r(A)=r<n,则AX=0存在基础解系,且基础解系所含向量的个数为n-r,即其解空间的维数为n-r。
4、齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。
参考资料来源:百度百科-齐次线性方程组
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