Question

线性方程组有解的判别方法？

Answer 1

线性方程组是否有解，可以通过判断其增广矩阵的秩和系数矩阵的秩来确定。线性方程组 \(Ax = b\) 的系数矩阵为 \(A\)，增广矩阵为 \([A|b]\)。设 \(r(A)\) 表示矩阵 \(A\) 的秩，\(r([A|b])\) 表示增广矩阵 \([A|b]\) 的秩。
线性方程组 \(Ax = b\) 的解的情况可以通过以下方式判别：
1. 如果 \(r(A) = r([A|b])\)，则线性方程组至少有一个解。
- 如果 \(r(A) = n\)，其中 \(n\) 是未知数的个数，那么线性方程组有唯一解。
- 如果 \(r(A) < n\)，那么线性方程组有无穷多个解。
2. 如果 \(r(A) < r([A|b])\)，则线性方程组无解。
这个判别方法基于线性代数的基本定理，通常称为克莱姆法则（Cramer's Rule）或秩定理。

Answer 2

证明：

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:

（1）当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；

（2）如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零

（3）克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。

扩展资料

齐次线性方程组解的性质：

1、若x是齐次线性方程组AX=0的一个解，则kx也是它的解，其中k是任意常数。

2、若x1,x2是齐次线性方程组AX=0的两个解，则x1+x2也是它的解。

3、对齐次线性方程组AX=0，若r(A)=r<n，则AX=0存在基础解系，且基础解系所含向量的个数为n-r，即其解空间的维数为n-r。

4、齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。

参考资料来源：百度百科-齐次线性方程组