Question

三角形的重心、垂心、内心和外心各是什么？

Answer 1

• 三角形的中心：仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。  

• 三角形的重心：三条中线的交点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。重心分中线比为1：2。

• 三角形的内心：三条角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称。到三边距离相等。  

• 三角形的外心：三条中垂线的交点，是三角形的外接圆的圆心的简称。到三顶点距离相等。


       

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扩展资料

重心的性质：  

• 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。    

• 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。  

• 重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。    

• 在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。  


       

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三角形外接圆薯激宏的圆心，叫做三角形的外心 外心的性质：

• 三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

• 若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

• 当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

• 计算外心的重心坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。    

外心到三顶铅野点的距离相等 三角形内切圆的圆心，数册叫做三角形的内心 内心的性质：

• 三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。

• 直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

• P为ΔABC所在平面上任意一点，点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c)