Question

对x/根号下(1+x^3)求不定积分

Answer 1

要求解积分 ∫(x/√(1+x^3)) dx ，我们可以使用代换法来解决。
令 u = 1 + x^3，那么 du/dx = 3x^2，解得 dx = (1/3x^2) du。
将 x/√(1+x^3) 中的 x 和 dx 用 u 表示，得到 (1/3u^(2/3)) du。
现在，我们将原始积分转化为 u 的积分：∫(x/√(1+x^3)) dx = (1/3) ∫(u^(-2/3)) du。
对 u^(-2/3) 进行积分，我们可以使用幂函数的积分公式，其中幂指数不等于 -1。按照公式的规律，对于幂指数 p = -2/3，其积分结果为 3u^(1/3)，再除以 (1/3)，得到 9u^(1/3)。
将 u 换回 x 的表达式，得到 9(1+x^3)^(1/3) + C，其中 C 是积分常数。
所以，∫(x/√(1+x^3)) dx = 9(1+x^3)^(1/3) + C。