Question

已知函数f(x)=(ax)/(x^2+b)在x=1处取得极值2,

若p(x0,y0)为f(x)图象上任意一点,直线l与f(x)的图象切于点p,求直线l的倾斜角的取值范围,请详细解答,谢谢

Answer 1

解：f'(x)=(-ax^2+ab)/(x^2+b)^2,由f'(1)=0和f(1)=2得a=4,b=1
设y=f'(x)=(-4x^2+4)/(x^2+1)^2
则yx^4+2(y+2)x^2+y-4=0有非负根,
即yt^2+2(y+2)t+y-4=0(t=x^2)有非负根.
令u=yt^2+2(y+2)t+y-4,
①y>0时，开口向上，对称轴在y轴左侧，须有u(0)<=0 ,即y<=4,
得到y的范围为0<y<=4；
② y<0时,开口向上，
（ⅰ）y<=-2时，对称轴在y轴左侧，须有u(0)>=0，即y>=4,无解；
（ⅱ）0<y<-2时，对称轴在y轴右侧，须有u(-(y+2)/y)>=0, 得到y>=-1/2,
所以得到y的范围为0>y>=-1/2；
③y=0时，4t-4=0,解得t=1,合适.
综上所述，y的值域为4=>y>=-1/2,
所以倾斜角的范围为[∏-arctan(1/2),∏）∪[0,arctan4].

Answer 2

f'(x)=(-ax^2+ab)/(x^2+b)^2,由f'(1)=0和f(1)=2得a=4,b=1
设y=f'(x)=(-4x^2+4)/(x^2+1)^2
则yx^4+2(y+2)x^2+y-4=0有非负根，△≥0得y>=-1/2
它有两负根（含重根）的条件是-2(y+2)/y<0,(y-4)/y>0,解得y>4
其补集为[-1/2,+∞)-(4,+∞)=[-1/2,4]
所以倾斜角范围是[π-arctan1/2,arctan4]

Answer 3

解：
f`(x)=[a(x^2+b)-ax*2x]/(x^2+b)^2
由在x=1处取得极值2可得
f(1)=a/(1+b)=2
f`(1)=[a(1+b)-2a]/(1+b)^2=0
解得a=4,b=1 .
那么f'(x)=[4(1+x^2)-8x^2]/(1+x^2)^2<=4
k<=4

若有什么不清楚的可以和我交流！

Answer 4

你的式子有问题 根本看不清