Question

求∫sin⁴xcosxdx不定积分

Answer 1

首先，将 sin²x 表示为 (1-cos2x)/2，得到：
∫sin⁴xcosxdx = ∫sin²x * sin²x cosxdx
= ∫[sin²x * (1 - cos²x)] (cosxdx/2)
= (1/2) ∫sin²xdx - (1/2) ∫sin²xcos²xdx
第一个积分中，sin²x可以替换成(1-cos2x)/2，得到：
(1/2) ∫sin²xdx = (1/2) ∫(1-cos2x)/2 dx = (1/4) * x - (1/8)sin2x + C1
第二个积分中，使用 sin²x = 1 - cos²x，得到：
(1/2) ∫sin²xcos²xdx = (1/2) ∫(1-cos²x)cos²xdx = (1/2) ∫cos²xdx - (1/2) ∫cos⁴xdx
= (1/2) * (x/2 + (1/4)sin2x) - (1/8)sin4x + C2
因此，将两个积分组合起来，得到：
∫sin⁴xcosxdx = (1/4) * x - (1/8)sin2x + (1/4) * (x/2 + (1/4)sin2x) - (1/8)sin4x + C
= (5/16)x - (3/16)sin2x -(1/8)sin⁴x + C
因此，∫sin⁴xcosxdx的不定积分为 (5/16)x - (3/16)sin2x -(1/8)sin⁴x + C。