Question

求证：等比数列求和公式

怎样证明等比数列求和公式？大家帮帮忙！急用！！！

Answer 1

1。由等比数列定义
a2=a1*q
a3=a2*q
...
a(n-1)=a(n-2)*q
an=a(n-1)*q 共n-1个等式两边分别相加得
a2+a3+...+an=[a1+a2+...+a(n-1)]*q
即
Sn-a1=(Sn-an)*q,即（1-q）Sn=a1-an*q
当q≠1时，Sn=(a1-an*q)/（1-q） (n≥2)
当n=1时也成立。
当q=1时Sn=n*a1
所以Sn= n*a1（q=1）
(a1-an*q)/（1-q） (q≠1)
2错位相减法：
Sn=a1+a2 +a3 +...+an
Sn*q= a1*q+a2*q+...+a(n-1)*q+an*q
= a2 +a3 +...+an+an*q
以上两式相减得（1-q）*Sn=a1-an*q
往下在讨论q=1,和q≠1两种情况可得Sn
3.数学归纳法:
很简单，得用到通项公式，不说了

Answer 2

设等比数列an,比值为i
则有a2=a1*i,
a3=a2*i=a1*i^2
......
an=a1*i^(n-1)

数列和Sn=a1+a2+a3+....+an
Sn*i=a2+a3+....+an+an*i
Sn*i-Sn=an*i-a1=a1*[i^n-1]
Sn=a1*[i^n-1]/(i-1)

Answer 3

q=1:Sn=n*a1

q不等于1:用错位相减法:Sn=a1+a2+a3+ ... +an ---1
qSn= a1q+a2q+... + an-1q+anq ----2
1-2得(1-q)Sn=a1-anq=a1(1-q^n)
Sn=....

Answer 4

以2的零次方+2的一次方+2的二次方+2的三次方+.....+2的n次方为例，推导等比数列求和公式：
因为an=2^(n-1)=1/2*2^n
所以sn=2^0+2^1+2^2+.....+2^(n-1)
sn-1=2^0+2^1+2^2+.....+2^(n-2)
sn-sn-1=2^(n-1)
〔1〕
2sn-1=2^0+2^1+2^2+.....+2^(n-1)-2^0
〔2〕
由〔1〕〔2〕可得sn=1/2*[(2^n)-1]/(1/2)=(2^n)-1
所以2的零次方+2的一次方+2的二次方+2的三次方+.....+2的n次=sn+1=2^(n+1)-1