已知a,b,m,n都大于0,求证a^(m+n)+b^(m+n)≥a^m*b^n+a^n*b^m 20
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左边-右边=a^(m+n)+b^(m+n)-a^m*b^n+a^n*b^m
=a^m*(a^n-b^n)+b^m*(b^n-a^n)
=(a^m-b^m)(a^n-b^n)
无论a≥b,还是b≥a，a^m-b^m与a^n-b^n同号
即(a^m-b^m)(a^n-b^n)≥0
故左边≥右边
原不等式成立
=a^m*(a^n-b^n)+b^m*(b^n-a^n)
=(a^m-b^m)(a^n-b^n)
无论a≥b,还是b≥a，a^m-b^m与a^n-b^n同号
即(a^m-b^m)(a^n-b^n)≥0
故左边≥右边
原不等式成立
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证:
[a^(m+n)+b^(m+n)]-[a^m*b^n+a^n*b^m]
=(a^m*a^n+b^m*b^n)-(a^m*b^n-a^n*b^n)
=a^m*(a^n-b^n)+b^m*(b^n-a^n)
=a^m*(a^n-b^n)-b^m*(a^n-b^n)
=(a^n-b^n)(a^m-b^m)
由于无论是a<b还是a>b,(a^n-b^n)(a^m-b^m)都是正的.
所以a^(m+n)+b^(m+n)≥a^m*b^n+a^n*b^m
[a^(m+n)+b^(m+n)]-[a^m*b^n+a^n*b^m]
=(a^m*a^n+b^m*b^n)-(a^m*b^n-a^n*b^n)
=a^m*(a^n-b^n)+b^m*(b^n-a^n)
=a^m*(a^n-b^n)-b^m*(a^n-b^n)
=(a^n-b^n)(a^m-b^m)
由于无论是a<b还是a>b,(a^n-b^n)(a^m-b^m)都是正的.
所以a^(m+n)+b^(m+n)≥a^m*b^n+a^n*b^m
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