Question

急,线性代数的一个问题:怎么证明可逆矩阵搜索了好多,没有找到类似题目,急死了,盼朋友的回答----

搜索了好多,没有找到类似题目,急死了,盼朋友的回答
设n阶矩阵A和B满足A+B=AB,证明A-E是可逆矩阵

Answer 1

A+B=AB
so, A=(A-E)B B=A(B-E)
AB=(A-E)BA(B-E)
展开 得 AB=BA
再由上面的兄弟所说 就对了

Answer 2

(A-E)(B-E) = AB - (A+B) + E = E
所以如果A-E可逆则其逆矩阵是B-E
但是我证不出(B-E)(A-E)=E，感觉少了AB=BA这个条件。

Answer 3

(A-E)(B-E) = AB - (A+B) + E = E
证到这里就已经够了.
两边取行列式,|A-E|,|B-E|必不等于零,所以都可逆
由此也可轻易证出(B-E)(A-E)=E

Answer 4

(A-E)(B-E) = AB - (A+B) + E = E
2边取行列式则|（A-E）|非0故它可逆。