Question

求证:三个连续奇数的平方和加1能被12整除,但不能被24整除

急!!!!

Answer 1

证明：
设n为任意整数，则三个连续奇数可表示为：2n-1,2n+1,2n+3
(2n-1)＃2+(2n+1)＃2+(2n+3)＃2+1
=4n＃2-4n+1+4n＃2+4n+1+4n＃2+12n+9+1
=12n＃2＋12n+12
=12(n＃2+n+1)---可被12整除证毕。

下面证明其不能被24整除：
1） 若n为奇数，则：n＃2+n+1为：奇＋奇＋奇，其和必为奇数，此和与12的积亦为奇数，当然不能被24整除。
2） 若n为偶数，则：n＃2+n+1为：偶＋偶＋奇，其和必为奇数，此和与12的积亦为奇数，当然也不能被24整除。

汗。。。这个输入框不支持上标，上面回答中的所有“＃2”均表示平方。如（2n+1)#2表示（2n+1)的平方，n＃2表示n的平方，4n＃2表示4乘以n的平方

Answer 2

设这三个连续奇数为2n-1,2n+1,2n+3.(n>=1)
则三个连续奇数的平方和加1为
（2n-1）^2+（2n+1）^2+（2n+3）^2+1=12(n^2+n+1)
显然，12整除12(n^2+n+1)，即12整除三个连续奇数的平方和加1
又因为n^2+n+1=n(n+1)+1,n(n+1)显然为偶数，（因为若n为偶数，则n(n+1)为偶数；若n为奇数，则n+1为偶数，n(n+1)为偶数）
则n(n+1)+1为奇数，即2不整除n(n+1)+1
所以24不整除12(n^2+n+1)，即24不整除三个连续奇数的平方和加1。

Answer 3

奇数可用2n+1表示，n为整数
三个连续奇数分别为：2n+3,2n+1,2n-1
其平方和为： (2n+3)(2n+3)+(2n+1)(2n+1)+(2n-1)(2n-1)
展开相加为：12(n*n+n+1)
易证 n*n+n+1 为奇数，
所以 12(n*n+n+1)能被12整除，但不能被24整除。

Answer 4

设它们为2n-1,2n+1,2n+3
(2n-1)^2+(2n+1)^2+(2n+3)^2+1
=12(n^2+n+1)
所以能被12整除
因为如果n是奇数，n+1必是偶数
如果n+1是奇数，n必是偶数
所以n(n+1)必是偶数，则n^2+n+1是奇数
所以它不能被24整除。

Answer 5

设三个连续奇数为2n-1、2n+1、2n+3（n为任意整数），由题意三个连续奇数的平方和为
（2n-1）^2
+（2n+1）^2
+（2n+3）^2
=
12（n^2
+
n
+
1），由于n为整数，所以n^2
+
n
+
1也必为整数，所以12（n^2
+
n
+
1）能被12整除
又n^2
+
n
+
1
=
n（n
+
1）+
1，因为n（n
+
1）必定是偶数，所以
n（n
+
1）+
1必定是奇数，所以12（n^2
+
n
+
1）不能被24整除