Question

已知a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=2,a^3+b^3+c^3=3,求abc的值

Answer 1

a+b+c=1,
(a+b+c)^2=1
a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1
a^2+b^2+c^2=2,
ab+bc+ca=-0.5

a^3+b^3+c^3=3
1-a^3+1-b^3+1-c^3=0
(1-a)(1+a+a^2)+(1-b)(1+b+b^2)+(1-c)(1+c+c^2)=0
(b+c)(1+a+a^2)+(c+a)(1+b+b^2)+(a+b)(1+c+c^2)=0
2(a+b+c)+2(ab+bc+ca)+ab(a+b)+ca(c+a)+bc(b+c)=0
2(a+b+c)+2(ab+bc+ca)+ab(1-c)+ca(1-b)+bc(1-a)=0
2(a+b+c)+2(ab+bc+ca)+(ab+ca+bc)-3abc=0
代入数值得
2*1+2*(-0.5)-0.5-3abc=0
abc=1/6

Answer 2

解：
解：
(a+b+c)^2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ------------------⑴
(a+b+c)^3=(a+b+c)^2(a+b+c)=a^3+b^3+c^3+3ab^2+3a^2b+3ac^2+3a^2c+3bc^2+3b^2c+6abc
= a^3+b^3+c^3+3ab(a+b+c)+3ac(a+b+c) +3bc(a+b+c)-3abc ------------⑵
∵已知a+b+c=1，a^2+b^2+c^2＝2，a^3+b^3+c^3＝3
∴由（1）式可得：ab+ac+bc= -1/2 --------------------(3)
由（2）式可得：3+3(ab+ac+bc)-3abc=1-------－－----(4)
∴abc=1/6

Answer 3

已知a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=2,a^3+b^3+c^3=3

因为 (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2（ab+ac+bc）=1

=>ab+ac+bc= -1/2

又有 (a+b+c)^3=3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)+6abc-2*(a^3+b^3+c^3)

abc= 1/6

Answer 4

1/6