Question

请教一道数学建模题，急！！！

有一块长宽分别为50 米以及28 米的矩形草坪区域, 要在其内部
设立若干个喷头用来自动浇灌这块草坪.现有浇灌半径分别为1 米,2
米和5 米三种规格的喷头可供使用. 要求草坪中的任一点都能被浇
灌到.
(1) 若所有的喷头都使用浇灌半径为1 米的喷头, 至少需要在草坪上
设多少个这种规格的喷头.
(2) 设f􁈺n􁈻表示n 个相同规格的喷头所能浇灌的最大矩形草坪区域的
面积(n=1,2,3,…), 试确定f􁈺n􁈻的值.
(3) 若三种规格的喷头都允许使用, 试设计一种你认为合理的浇灌
方案, 使得:
(i) 喷头个数尽可能少;
(ii) 尽可能合理利用水资源, 即要求溢出草坪部分的浇灌面积
尽可能少.
没人会么？
给出满意答案愿再追加分数！！！
万谢~~

Answer 1

第1题

50*28=1400

1400/2*2=1400/4=350个

第2题

f n =4n^2

n=1,fn=4
n=2,fn=16
n=3,fn=36
....
4n^2=1400,n^2=350,n=19,fn=4n^2=4*361=1444>1400,fn=1444

第3题

i),
4*(a*1^2+b*2^2+c*5^2)=4*（2a+4b+25c)

2a+4b+25c>350,2a=4b=25c,a=50,b=25,c=6刚好=350

故n=1,50
n=2,25
n=5,6

ii),S灌溉面积=4(2*50+4*25+25*6)=1400

Answer 2

应该把浇灌范围看成是正方形.这样才好要求草坪中的任一点都能被浇灌到. 允许有正方形外面的圆部分重复.

1,所以浇灌半径为1米的喷头的浇灌范围,是对角线为2米的正方形,边长=根号2=1.4米.
28/1.4=20个
50/1.4=35.7=36个
20*36=720个

2,

Answer 3

第一个：同意liuking123说的，要720个半径1米的喷头才能将50*28米的区域全部覆盖。（缺点：重复地方太多。）
第二个：如果使用半径1米的喷头，那么一个喷头能喷出的最大正方形面积为2个平方，所以，N个相同规格的半径一米的F的值为2N
半径为2米的，最大正方形面积为8个平方，N个相同规格的能灌溉的最大面积为8*N，
半径为5米的，最大正方形面积为20个平方，N个相同规格的能灌溉的最大面积为20*N
第三个：要使一出部分的灌溉面积尽可能少，草坪四周用半径一米的喷头，大概需要112个，