Question

设x,y∈〔0,＋∞),且x^2+y^2=4,μ=x×y-4(x+y)+10,那么μ的最值情况是

A.有最大值2，最小值2（2-√2）^2
B.有最大值2，最小值0
C,有最大值10，最小值2（2-√2）^2
D.最大值不存在

Answer 1

令x+y=t 则t^2-2xy=4 xy=(t^2-4)/2
首先我们关注t的范围,有2种方法

1.三角代换
令x=2cosα y=2sinα α∈[0,∏/2] t=2(sinα+cosα) ∴2≤t≤2根号(2)

2.x^2+y^2=4 x≥0 y≥0可以看做一个1/4圆，t=x+y要与圆有交点，同样可以得到2≤t≤2*根号(2)

然后我们关注u=xy-4(x+y)+10=(t^2-4)/2-4t+10=1/2t^2-4t+8的最值
u=1/2(t-4)^2 因为2≤t≤2*根号(2) 所以2*(2-√2）^2≤u≤2