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设X1>X2,证明f(x1)-f(x2)>0或f(x1)/f(x2)>1
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在（1，+无穷）增，在（-1，-无穷）减
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1、设
0，则
x1+x2＜0、x1-x2＜0；
于是
f(x1)-f(x2)=x1的平方+1-（x2的平方+1）=x1的平方-x2的平方=(x1+x2)(x1-x2)＞0，
即
f(x1)＞f(x2)，
故
f(x)在（-∞，0)上为减函数；
2、设
0＜x1＜x2，则x1+x2＞0、x1-x2＜0；
于是
f(x1)-f(x2)=x1的平方+1-（x2的平方+1）=x1的平方-x2的平方=(x1+x2)(x1-x2)＜0，
即
f(x1)＜f(x2)
故
f(x)在
[0，∞)上为增函数.
0，则
x1+x2＜0、x1-x2＜0；
于是
f(x1)-f(x2)=x1的平方+1-（x2的平方+1）=x1的平方-x2的平方=(x1+x2)(x1-x2)＞0，
即
f(x1)＞f(x2)，
故
f(x)在（-∞，0)上为减函数；
2、设
0＜x1＜x2，则x1+x2＞0、x1-x2＜0；
于是
f(x1)-f(x2)=x1的平方+1-（x2的平方+1）=x1的平方-x2的平方=(x1+x2)(x1-x2)＜0，
即
f(x1)＜f(x2)
故
f(x)在
[0，∞)上为增函数.
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