Question

一道高数证明题,高手请进!!!

设函数f(x)在[0,1]上可导,且|f'(x)|<=M,
试证|∫01f(x)dx-1/n[f(1/n)+f(2/n)+...+f(n/n)]|<=M/2n.

注:∫01f(x)dx表示f(x)在(0,1)上的定积分.
谢谢各位大侠了!!!
能给出详细的解答吗,我当然知道用泰勒公式或拉格朗日定理证出,问题你考试时不是说一句"用泰勒公式或拉格朗日中值定理"就给你分的!

Answer 1

...楼上是懒得写吧,呵呵,这个确实挺简单的,但写起来很麻烦
废话不多说,解答如下
原式=|∑[(∫(i-1/n,i/n)f(x)dx-(1/n)f(i/n)]|.......(i=1,2,3,...n)
利用积分中值定理∫(i-1/n,i/n)f(x)dx=f(ξi)*(1/n).....(i-1/n<ξi<i/n)
=|∑[(f(ξi)（1/n)-(1/n)f(i/n)]|.......(i=1,2,3,...n)
利用拉格朗日
[(f(ξi)-f(i/n)](1/n)=f'(ηi)(1/n)(i/n-ξi)..ξi〈ηi〈i/n
i=1,2...n
=|∑[(f(ξi)（1/n)-(1/n)f(i/n)]|
<=∑|[(f(ξi)（1/n)-(1/n)f(i/n)]|
=∑|f'(ηi)||(1/n)||(i/n-ξi)|
高中知识了ab<=[(a+b)/2]^2
这里由于1/n和i/n-ξi都大于零
并且i-1/n<ξi<i/n，即i/n-ξi<1/n
所以|(1/n)||(i/n-ξi)|<=[(1/n+1/n)/2]^2=1/2n
|f'(x)|<=M所以
∑|f'(ηi)||(1/n)||(i/n-ξi)|<=M/2n
希望可以帮到你

Answer 2

用泰勒公式或拉格朗日中值定理