Question

一道相似三角形题，请给出详细过程

在等边三角形ABC中，P是BC上一点，连接AP，做AP的中垂线分别交AB、AC于M、N，求证：三角形MBP相似于三角形PCN。

Answer 1

因为：三角形ABC为等边三角形
所以：角B=角C=角MAN=60度
因为：MN为AP的中垂线，
所以：AM=PM，AN=PN
（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）
在三角形MAN与三角形MPN中
因为：AM=PM，AN=PN，MN=MN
所以：三角形MAN 全等于 三角形MPN（SSS）
所以：角MAN=角MPN
又因为：角MAN=60度
所以：角MPN=60度
因为：角BMP+角MPB=120度，角MPB+角NPC=120度
所以：角BMP=角NPC
在三角形MBP与三角形PCN中
因为：角BMP=角NPC，角B=角C
所以：三角形MBP 相似于 三角形PCN

Answer 2

设MN交AP于O,则有三角形AMO全等于三角形PMO,三角形ANO全等于三角形PNO,
角MAN=角MPN=60度
角NPC+角MPN+角MPB=180
角NPC+角MPB=120
角NPC+角CNP=120
所以 角CNP=角MPB
同理 角NPC=角BMP
所以 三角形MBP相似于三角形PCN