Question

有两道数学题目不会！高手来！高分悬赏！

1.30对夫妻围着圆桌坐下
证明至少有两名妻子到各自丈夫的距离相等
2.一个正整数，如果用9进制表示，则为ABC（上面有一道横，我不会打，就是ABC都是各个位上的数字），如果用7进制表示，则为CBA（跟上面一样），用十进制表示这个正整数
这怎么了
第二题好像简单一点
第一题我觉得和抽屉原理有关
哥们是九进制。。。
我愚钝，请给过程
还有第一题！！
明天没答案我就提高到200！

Answer 1

“过则改之LOVE”答得很好，如果要选谁先答得话，你就选他吧。。
我就答自己想的解题方法了。。

先答第二题(注：方程和“过则改之LOVE”完全相同。。)
81A+9B+C=49C+7B+A => 40A+B=24C
易知B是8的倍数，又A、B、C＜7,∴B=0，5A=3C,进而A=3,C=5，所以原数=248

第一题(与“过则改之LOVE”有所不同)
先化规一下：坐好以后，先从某一位男士开始，按某个方向，依次给男士做一次编号1~30，然后，从他开始，按同一个方向，再给与他同座的女士依次编号a(1)~a(30)。再给a(i)赋值j，表示坐在i号女士的丈夫坐在j号。(如a(5)=8表示坐在5号位置的女士的丈夫坐在8号位置)
下面考察数列{a（i）}（i=1~30），它们是由1~30按某个顺序排列的（就是他们丈夫所坐位置的顺序）
所谓“有两名妻子到各自丈夫的距离相等”，只要证明存在这样的情况：
|a(i1)-i1|=|a(i2)-i2|。。。。。。*(见下面的注)
于是考虑|a(i)-i|（i=1~30）的所有可能：共有30个数，范围是：0~29。根据抽屉原理，若要保证没有*号的情况，必须|a(i)-i|（i=1~30）取遍0~29(看了注你就会明白，即使取遍也是错的！！！这样就可以直接得证了！！这里为了证明一个更强的命题，来证明取遍是不可能的！！)，这是不可能的！反证：若{|a(i)-i|}（i=1~30）={0~29的某种排列}，因为去绝对值奇偶性不变，将左边|a(i)-i|（i=1~30）去绝对值后通加和为0，而右边0加到29通加和为奇数，所以不可能！
于是，|a(i)-i|中必有两个是一样的，即得证！

注:晕啊@.@自己做下来发现问题大了。。好像没用到圆桌哦。。这个证法好像夫妇排成一排也可以证的-.-关键点在于：排成圆圈的话“有两名妻子到各自丈夫的距离相等”除了*号的情况还有其他可能（实际上方程还应包括这种情况：|a(i1)-i1|+|a(i2)-i2|=60请读者自己验证），也就是说，我证了一个更强的命题，事实上也很容易理解，对于排成一排成立的话，排成圆圈肯定成立了（反之则不一定哦。。。）

Answer 2

1 设60个位置分别编号为1,2,3...,60
设每个丈夫的座号为a1,a2,...,a30
每个妻子的座号为b1,b2,...,b30
设ai-bi≡ci(mod 60)（ci显然不为0，设-29≤ci≤30）

若有某个ci≡cj(mod 60)或ci+cj≡0(mod 60)
则命题成立

若对任意i,j都没有ci≡±cj(mod 60)
则|c1|,|c2|,...|c29|,|c30|分别为1,2,...,30的一个排列
|c1|+|c2|+...+|c30|=1+2+...+30为一奇数
所以c1+c2+...+c30也为奇数

同时c1+c2+...+c30=(a1-b1)+(a2-b2)+...+(a30-a30)
=(a1+a2+...+a30+b1+b2+...+b30)-2(b1+b2+...+b30)
=(1+2+...+60)-2(b1+b2+...+b30)为偶数

矛盾，所以命题成立

2 248
转化成十进制：
A*9^2+B*9+C=C*7^2+B*7+A
40A+B=24C
C<=6 （因为是7进制）
对C讨论，只有C=5 A=3 B=0

十进制=A*9^2+B*9+C=248

Answer 3

1.距离有1、2、3、...、30 共30种
若没有妻子与丈夫距离相等则每种距离一对
。。。。。。
做不出来
不过我怀疑题目的正确性
因为4对、5对、6对 我都可以找到成立的例子

2。(305)9=(503)7
最后结果为：248（10进制）

Answer 4

1 假设全部不等，则每对相隔距离为0-29，但是60人的圆桌，相隔最多只有28人，矛盾，所以至少有两对相等

2， 楼上错了，不是八进制，
九进制化简
80a+2b-48c=0

十进制就是248

Answer 5

1原来做过不记得了~~~~

Answer 6

这......