Question

已知-1＜a+b＜3，且2＜a-b＜4，求2a+3b的取值范围.

我先求出a的范围，再求出b的范围，然后求2a+3b的范围，这样为什么不行，请高手解释一下。要详细一点哦。

Answer 1

先求出a的范围，再求出b的范围，然后求2a+3b的范围，这样为什么不行?
答：这样就是同时应用a和b界值，但是当a取界值时，b不一定取到界值，故这样是不行的。
在本例中，-1＜a+b＜3，且2＜a-b＜4表示是一个2×4的长方形区域，倾斜45°放置。假定a为横坐标，b为纵坐标，那么a的界值是左右两顶点的横坐标而 b的界值是上下两顶点的纵坐标，a,b的界值不是同一点的坐标，不能同时取到。

正确的解法是：设坐标变换
x=a+b
y=a-b
然后求出逆变换
a=(x+y)/2
b=(x-y)/2
代入目标式得2a+3b=(x+y)+3(x-y)/2=(5x-y)/2
所以最小值是-9/2，最大值是13/2。
-1＜x＜3，且2＜y＜4也是一个2×4的长方形区域，但在xy坐标系中是正平放置、没有倾斜的，故x,y的界值可在同一个顶点取到。

Answer 2

2a+3b=m(a+b)+n(a-b).
2=m+n
3=m-n………………(对应系数相等)
m=5/2
n=-1/2
-5/2<5(a+b)/2<15/2,-2<-(a-b)/2<-1…………（不等式叠加性）
-9/2<2a+3b=5(a+b)/2-(a-b)/2<13/2
-9/2<2a+3b<13/2

你的作法求出的AB范围被扩大了,求出的ab值不会同时取到最大或最小,所以不能同时以最大或最小值代入,所以你求出的2a+3b范围会被扩大

Answer 3

可以啊，不过求a和b的范围时不要用减法就可以了。例如求b的范围时
2<a-b<4转成 -4<b-a<-2然后与-1<a+b<3 两边求和则-5/2<b<1/2

Answer 4

-1<a+b<3
所以-5<5a+5b<15

2<a-b<4
所以-4<-a+b<-2
相加
-9<4a+6b<13
-9/2<2a+3b<13/2

不知道你是怎么求出ab的范围的？

Answer 5

你可以把-1＜a+b＜3，2＜a-b＜4两个式子在平面直角坐标系中画一下图，标出它所表示的范围，再把求出的a,b的范围也画一个图，就会发现表示的范围已经扩大了，正确解法见楼上。