Question

大家帮忙解一道奥数题，要过程，谢谢！！

有1997个奇数，他们的和等于他们得积。其中只有3个数不是1，而且是3个不同的质数。那么，这样的3个质数可以是（ ）、（ ）、（ ）

大家踊跃回答啊！！谢谢！！越快越好！！

Answer 1

由于1997个数都是奇数，并且有三个数不是1，那么其余1994个数都是1，它们的和是1994。2是偶数，所以三个不同质数不能包括2，那么这三个质数的末位数字只能是1、3、5、7、9。

设三个不同质数分别是a、b、c，于是有

1994+a+b+c=a×b×c。

（一）末位数字是5的质数只有5。设a=5，有1994+5+b+c=5×b×c，质数b、c的末位数字只能是1、3、7、9，从中选出两个，分别算出（1994+5+b+c）和5×b×c的末位数字。见下表：

显然，只有当b、c的末位数字是7、9或3、3时，（1994+5+b+c）和5×b×c的末位数字才相同。

1．当质数b、c的末位数字是7、9时，设b的末位数字是7，b可能是7、17、37……。

①如果b=7，则有1994+5+7+c=5×7×c，解得c=59，59是质数，所以5、7、59这三个质数符合题目要求。

②b=17，则有1994+5+17+c=5×17×c，解得c=24，24是合数，不合题意，b≠17．

题意，b≠37。

然b大于37时，没有答案。

2．当质数b、c的末位数字是3、3时，末位数字是3的质数有3、13、23、43……。

①设b=3，则有1994+5+3+c=5×3×c，解得c=147，147=3×7×7，不合题意。

显然，b、c末位数字都是3时是没有答案的。

（二）、如果三个不同的质数不包括5，则它们的末位数字只能是 1、3、7、9，从中选出3个，算出（1994+a+b+c）和a×b×c的末位数字，见下表：

显然，只有当a、b、c的末位数字是7、7、1或1、3、9时，（1994+a+b+c）和a×b×c的末位数字才相同。

1．当质数a、b、c的末位数字是7、7、1时。设a、b的末位数字是7，那么a、b可能是7、17、37、47……，设c的末位数字是1，那么c可能是11、31、41……。

显然，当a、b是更大的数时是没有答案的。

2．当质数a、b、c的末位数字是1、3、9时。末位数字是1的质数有11、31、41……，末位数字是3的质数有3、13……，末位数字是9的质数有19、29……。

①设三个质数分别是11、13、19，由于1994+11+13+19=2037，而11×13×19=2717，2717＞2037，显然末位数字是3的质数只能是3。

题意。

有答案。

综上所述，本题只有一个答案，三个不同的质数是5、7、59。

Answer 2

1,2,3

Answer 3

2,3,5

Answer 4

13
56
95