Question

高一数学必修一的函数习题

设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且图象在y轴上的截距为1,被x轴截得的线段长为2倍根号2,求f(x)的表达式.

Answer 1

f(x-2)=f(-x-2), 对称轴是x=-2
因为被x轴截得的线段长为2倍根号2
所以x1=-2-根号2 x2=-2+根号2
所以设f(x)=a（x-根号2+2）*（x+2+根号2）
整理f(x)=ax^2+4ax+2a
又因为图象在y轴上的截距为1
所以2a=1
所以a=1
f(x)=1/2x^2+2x+1

Answer 2

设f（x)=ax^2+bx+c,依题设得f(0)=c=1.
设方程ax^2+bx+c=0的两个根分别是x1和x2，则有(x1-x2)^2=(b/a)^2-4c/a=(2√2)^2=8
另由f(x-2)=f(-x-2)得a（x-2)^2+b(x-2)+c=a(x+2)^2-b(x+2)+c,对比系数得b=4a.
联立方程得a=(1+√5)/4,b=1+√5,c=1或a=a=(1-√5)/4,b=1-√5,c=1
故f(x)=(1+√5)/4*x^2+(1+√5)x+1或f(x)=(1-√5)/4*x^2+(1-√5)x+1

Answer 3

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Answer 4

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