Question

已知f(x)是定义在（0 ，＋∞）上的单调递增函数，对于任意的m,n （m,n∈（0，＋∞）），

已知f(x)是定义在（0 ，＋∞）上的单调递增函数，对于任意的m,n （m,n∈（0，＋∞）），满足f(m)+f(n)=f(mn),且a,b(0<a<b)满足｜f(a)｜=｜f(b)｜=
2×｜f[(a+b)／2]｜,f(1)=0
求证：3<b<2+√2

Answer 1

证明:令n=1/m则f(m)+f(1/m)=f(1)=0
∴f(m)=-f(1/m)
又∵0<a<b且f(x)是定义在（0 ，＋∞）上的单调递增函数
∴f(a)< f(b)
∵｜f(a)｜=｜f(b)｜
∴f(a)=- f(b)＜0=f(1),f(b)＞0
∴0<a<1,a=1/b,ab=1
∴(a+b)/2=(1+b＾2)/2b
∵1+b＾2＞2b
∴f[(a+b)／2]＞0
∴f(b)=2×f[(a+b)／2]=f[(a+b)／2]+f[(a+b)／2]
∵对于任意的m,n （m,n∈（0，＋∞）），满足f(m)+f(n)=f(mn)
∴b=(a+b)＾2/4
∴4b=a＾2+2ab+b＾2=a＾2+2+b＾2
∴H(a)=a＾2+b＾2-4b+2=0为关于a的方程在(0,1)上必有解
由根的分布情况知
H(0)＜0且 H(1)＞0
即b＾2-4b+2＜0且b＾2-4b+3＞0
又∵b＞0
解不等式组得3＜b＜2+√2
得证
(用函数和方程的思想结合,以及数形结合)