Question

高一数学 数列问题

若数列 {an} 满足 a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1 (n≥2), 则当 n≥2 时, {an} 的通项 an= .
怎么做啊

Answer 1

an=a1+2*a2+…+(n-1)*an-1(n>=2)
an-1=a1+2*a2+…(n-2)*an-2(n>=3)
an-an-1=(n-1)*an-1(n>=3)
an=n*an-1
an=n*(n-1)*......*3*a2=n!*a2/2
a2=1=2!*a2/2
an=n!/2(n>=2)

答案是分段的:
an=1 n=1,
an=n!/2 n>=2.

Answer 2

a(n)-a(n-1)
=(a(1)+2a(2)+...+(n-2)a(n-2)+(n-1)a(n-1))-(a(1)+2a(2)+...+(n-2)a(n-2))
=(n-1)a(n-1)

可知对任意自然数n>=3有a(n)=n*a(n-1)

a(2)=a(1)=1

a(n)
=n*a(n-1)
=n*(n-1)*a(n-2)
=...
=n*(n-1)*...*3*a(2)
=n*(n-1)*...*3*1
=n!/2 （n!读作“n的阶乘”）

于是对任意自然数n>=3，知a(n)通项为：
a(n)=n*(n-1)*...*3*1=n!/2
a(1)=a(2)=1