Question

一次函数学习

大家快帮帮我，我们开学药学一次函数，可是我没有书，而且一点也不懂得一次函数，对这一无所知，请大家帮帮我，教会我一次函数，开学了，老师首先得考这个的，请大家帮帮我，拜托啦！

Answer 1

函数概念
在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果可以写成y=f(x)，（即x经过某种运算得到y），即每一个x都有唯一一个y与之对应，那么我们就说y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量（y随x的变化而变化的意思）。如果有2个及以上个值的y与某个x对应，又或者没有y对应于某个x，那么y就不是x的函数。[1]
定义
一般地，形如y=kx+b（k≠0，k,b是常数），那么y叫做x的一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，即正比例函数（自变量和因变量成正比例）。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。[2]但不能说一次函数是正比例函数
若自变量最高次数为1，则这个函数就是一次函数。
还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量（如π）
表示法
函数常用的表示方法：解析法、图像法、列表法。[1]
2基本性质
1．当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0, b)。[1]
2．当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。[1]
3．对于正比例函数，y除以x的商是一定数（x≠0）。对于反比例函数，x与y的积是一定数。
4．在两个一次函数表达式中：
当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；
当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；
当两个一次函数表达式中的k不相同，b也不相同时，则这两个一次函数的图像相交；
当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）；
当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。[1]
5．两个一次函数(y1=ax+b, y2=cx+d)之比，得到的新函数y3=(ax+b)/(cx+d)为反比例函数，渐近线为x=－b/a，y=c/a。[1]
6.直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：
k>0,b>0经过第一、二、三象限
k>0,b<0经过第一、三、四象限
k>0,b=0经过第一、三象限
【k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大】
k<0b>0经过第一、二、四象限
k<0,b<0经过第二、三、四象限
【K,0,b=0经过第二、四象限 k<0图象从左到右下降，y随x的增大而减小】

一次函数的图象与性质[3]
（1）列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。[4]
（2）描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。[4]
一般地，y=kx+b（k≠0）的图象过(0, b)和(-b/k, 0)两点即可画出。
正比例函数y=kx（k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取(0, 0)和(1, k)两点画出即可。
（3）连线： 按照横坐标由小到大的顺序把描出的各点用直线连接起来。[4]
当平面直角坐

两一次函数平行
标系中两直线平行时，其函数解析式中k的值（即一次项系数）相等；
当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中k的值互为负倒数（即两个k值的乘积为-1）
注意：与y轴平行的直线没有函数解析式，与x轴平行的直线的解析式为常函数，故上述性质中这两种直线除外。

两一次函数垂直
概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。[4]
常用公式：
1.求函数图像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点：(x1+x2)/2
3.求与y轴平行线段的中点：(y1+y2)/2
4.求任意线段的长：√[(x1-x2)2+(y1-y2)2]
5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
两个一次函数 y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，令y1=y2，得k1x+b1=k2x+b2。将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1，y2=k2x+b2两式的任一式，得到y=y0，则(x0, y0)即为 y1=k1x+b1与y2=k2x+b2之交点坐标。
6.求任意2点所连线段的中点坐标：( (x1+x2)/2, (y1+y2)/2 )
7.求任意2点的连线的一次函数解析式：(x-x1)/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) （若分母为0，则分子为0）
(x,y)为 +，+（正，正）时该点在第一象限
(x,y)为 -，+（负，正）时该点在第二象限
(x,y)为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
(x,y)为 +，-（正，负）时该点在第四象限
8.若两条直线y1=k1x+b1，y2=k2x+b2互相平行，则k1=k2，b1≠b2
9.如两条直线y1=k1x+b1，y2=k2x+b2互相垂直，则k1×k2=-1
10.设原直线为y=kx+b
y=k(x-n)+b就是直线向右平移n个单位
y=k(x+n)+b就是直线向左平移n个单位

一次函数的平移
y=kx+b+n就是向上平移n个单位
y=kx+b-n就是向下平移n个单位
口决：左加右减相对于X，上加下减相对于b。
11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0)，与y轴的交点：(0，b)
生活中的应用
1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）
常见题型
常见题型一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。现以部分中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常见题型。希望对大家的学习有所帮助。
一. 定义型

二. 点斜型

三. 两点型

四. 图像型

五. 斜截型

六. 平移型

七. 实际应用型

八. 面积型

九. 对称型

十. 开放型

十一. 几何型

十二. 方程型

十三. 综合型

例题：
（1）y与x成正比例函数，当 y=5时，x=2.5，求这个正比例函数的解析式.
（2）已知一次函数的图象经过A（－1，2）和B（3，－5）两点，求此一次函数的解析式.
解：（1）设所求正比例函数的解析式为 y=kX
把 y=5，x=2.5代入上式 得 ，5=2.5k
解之，得k=2
∴所求正比例函数的解析式为 y=2X
（2）设所求一次函数的解析式为y=kx+b
∵此图象经过A（－1，2）、B（3，－5）两点，此两点的坐标必满足y=kx+b ，将x=-1 、y=2和x=3、y=-5 分别代入上式，得 2=-k+b,-5=3k+b
解得 k=-7/4,b=1/4
∴此一次函数的解析式为y=-7x/4+1/4
点评：（1） 不能化成带分数.（2）所设定的解析式中有几个待定系数，就需根据已知条件列几个方程.

Answer 2

形如y=kx+b(k≠0)的函数叫做一次函数。
描点可以得到一次函数的图象是一条直线；当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x增大而减小。

Answer 3

请把题给我

追问

不是题，是要学习一次函数